II LANDASAN TEORI (TESIS)

2.1 FUNGSI

2.1.1 DEFINISI FUNGSI

(to be continued......)

I. PENDAHULUAN (TESIS)

1.1 LATAR BELAKANG

Perkembangan dunia yang semakin maju dan modern ini tidak terlepas dari adanya peranan teknologi informasi. Berbagai bidang kehidupan pun tak luput dari penggunaan sarana informasi yang semakin canggih. Hal itu terlihat dengan adanya penggunaan komputer baik di rumah, sekolah, kantor, maupun jasa penyewaan (rental) komputer yang dengan mudahnya dapat kita temui di manapun kita berada. Pemakaian komputer pun tidak hanya sebatas mengetik tugas-tugas sekolah maupun tugas-tugas kantor, tetapi lebih dari pada itu digunakan untuk mengirim informasi/berita yang lebih kita kenal dengan surat elektronik atau electronic mail (email). Pengiriman email pun dapat dilakukan antar sahabat, antar dosen-mahasiswa, serta siapa saja baik dalam satu kota, antar kota, bahkan antar negara. Isi berita email pun tidak hanya sekedar mengetahui kabar masing-masing tetapi lebih dari itu, informasi atau dokumen paling rahasia pun dapat dikirim lewat email. Hal ini dikarenakan biaya pengiriman email yang sangat murah, mudah, dapat dikirim ke berbagai belahan dunia. Berkaitan dengan pengiriman informasi atau dokumen rahasia, apakah email dapat menjamin kerahasiaan? Untuk menjawab pertanyaan tersebut dibutuhkan suatu ilmu yang dapat menyembunyikan huruf atau tulisan sehingga tulisan tersebut tidak dapat dibaca oleh orang yang tidak berhak atau yang dikenal dengan ilmu kriptografi.
Kriptografi adalah studi teknik matematika yang berkaitan dengan aspek keamanan informasi seperti kerahasiaan, integritas data, autentikasi entitas, dan autentikasi asal data (Menezes et al. 1996).
Salah satu primitif kriptografi modern adalah fungsi hash kriptografi, atau sering disebut fungsi hash satu-arah. Fungsi hash adalah suatu fungsi yang mengambil input (bitstring) dengan panjang sebarang dan mentransformasikannya menjadi suatu output (bitstring) dengan panjang tetap, biasanya disebut dengan nilai-hash (hash-value).
Kegunaan fungsi hash adalah untuk melindungi data. Dalam kriptografi dikenal dengan istilah integritas data (data integrity), maksudnya menjamin bahwa informasi yang dikirim tidak diganti oleh siapapun yang tidak berwenang.
Secara umum fungsi hash mempunyai 3 (tiga) sifat utama, yaitu pertama bersifat kompresi dan memudahkan perhitungan; kedua bersifat satu-arah (one-way); ketiga bersifat tahan tumbukan di mana secara perhitungan tak layak mencari dua input berbeda x, x’ dengan x≠ x’ sehingga h(x’) = h(x) (Menezes et al. 1996).
Prinsip kerja fungsi hash melalui 3 (tiga) langkah yaitu pertama padding. Langkah kedua kompresi. Langkah ketiga finalisasI.
Salah satu jenis fungsi hash adalah message digest five (MD5). Message digest bisa diartikan sebagai intisari pesan. MD5 didesain oleh Ron Rivest sebagai versi penguatan dari MD4. Secara umum, fungsi hash diiterasikan oleh fungsi kompresi X = f(Z) yang mengompres blok pesan Z berukuran l bit menjadi nilai hash X berukuran s bit, dengan s < l.


1.2 TUJUAN PENELITIAN

Memodifikasi algoritme fungsi hash MD5 yang didasarkan pada analisis syarat cukup serangan diferensial yang diharapkan tahan terhadap serangan diferensial versi Wang.


1.3 MANFAAT PENELITIAN

Hasil modifikasi dari algoritme fungsi hash MD5 ini diharapkan lebih baik dan lebih aman dari sebelumnya apabila digunakan untuk melindungi integritas data.

Perkalian Angka 5 dengan 1, 2, 3, ... , 10 Menggunakan Jari (Perkalian Jari Bag. 3)

Untuk perkalian antara bilangan 5 dengan 6, 7, 8, 9, caranya menggunakan jari dengan telapak tangan menghadap wajah kita. Jari-jari kanan mulai dari kelingking sampai ibu jari masing-masing melambangkan angka 6, 7, 8, 9, 10.

Jari-jari pada telapak kiri dibiarkan terbuka sedangkan pada telapak kanan bergantian dilipat sesuai dengan lambang angkanya.

1). 5 x 6 = ... ?
Solusi: Jari-jari kiri dibiarkan terbuka, sedangkan kanan hanya kelingkingnya yang dilipat. Jari2 kiri dikalikan dengan jari2 kanan (jari2 yang berdiri), yaitu 5x4 = 20. Sedangkan karena jari yang terlipat 1, berarti 1 tersebut dikali 10, yaitu 1x10 =10.
Jadi, hasilnya 5x6 = 20 + 10 = 30.

2). 5 x 7 = ... ?
Solusi: Jari-jari kiri dibiarkan terbuka, sedangkan kanan hanya kelingking dan jari manis yang dilipat. Jari2 kiri dikalikan dengan jari2 kanan (jari2 yang berdiri), yaitu 5x3 = 15. Sedangkan karena jari yang terlipat 2, berarti 2 tersebut dikali 10, yaitu 2x10 =20.
Jadi, hasilnya 5x7 = 15 + 20 = 35.

3). 5 x 8 = ... ?
Solusi: Jari-jari kiri dibiarkan terbuka, sedangkan kanan hanya kelingking, jari manis, dan jari tengah yang dilipat. Jari2 kiri dikalikan dengan jari2 kanan (jari2 yang berdiri), yaitu 5x2 = 10. Sedangkan karena jari yang terlipat 3, berarti 3 tersebut dikali 10, yaitu 3x10 =30.
Jadi, hasilnya 5x8 = 10 + 30 = 40.

4). 5 x 9 = ... ?
Solusi: Jari-jari kiri dibiarkan terbuka, sedangkan kanan hanya kelingking, jari manis, jari tengah, dan telunjuk yang dilipat. Jari2 kiri dikalikan dengan jari2 kanan (jari2 yang berdiri), yaitu 5x1 = 5. Sedangkan karena jari yang terlipat 4, berarti 4 tersebut dikali 10, yaitu 4x10 =40.
Jadi, hasilnya 5x9 = 5 + 40 = 45.

5). 5 x 10 = ... ?
Solusi: Jari-jari kiri dibiarkan terbuka, sedangkan kanan juga terbuka. Jari2 kiri dikalikan dengan jari2 kanan (karena tidak ada yang berdiri berarti 0) yaitu 5x0 = 0. Sedangkan karena jari yang terlipat 5, berarti 5 tersebut dikali 10, yaitu 5x10 =50.
Jadi, hasilnya 5x10 = 0 + 50 = 50.

Trik mudahkan .... !

Trik Cepat Mengalikan Bilangan (Bilangan 90-an)

Seperti telah diketahui bahwa angka 9 mempunyai banyak keunikan khususnya dalam mempelajari bilangan.
Pada tulisan 'perkalian menggunakan jari' telah dipelajari perkalian angka 9.
Tapi di sini yang akan diberikan adalah trik perkalian antara bilangan 90-an dengan bilangan 90-an ( 91 s/d 99).

1). 98 x 97 = ... ?
Solusi: Karena kedua angka ini mendekati angka 100, maka:
(i). 100 - 98 = 2 dan 100 - 97 = 3
(ii). 98 - 3 = 95 dan 97 - 2 = 95
(iii). -2 x (-3) = 6 atau 06
Sehingga, hasilnya: 9506.
Penjelasan verbalnya sbb:
Angka 98 supaya menjadi 100, berarti kurang 2 angka.
Angka 97 supaya menjadi 100, berarti kurang 3 angka.
Kekurangan angka untuk mencapai 100 tersebut, jika dikurangi dengan kedua angka 98 dan 97 pasti mempunyai angka yang sama, yaitu 95.
Dan kekurangan angka tersebut ditulis -2 dan -3, dikalikan hasilnya 6 (dan bisa ditulis 06, karena perkalian bilangan di atas adalah dibawah 100).
Jadi, 98 x 97 = 9506.

2). 95 x 99 = ... ?
Solusi: Analog dengan soal sebelumnya, maka:
(i). 100 - 95 = 5 (ditulis -5)
(ii). 100 - 99 = 1 (ditulis -1)
(iii). 95-1 = 99-5 = 94
(iv). -5 x (-1) = 5 (ditulis 05)
Sehingga: 95 x 99 = 9405.

3). 93 x 92 = ... ?
Solusi: Analog dengan soal sebelumnya, maka:
(i). 100 - 93 = 7 (ditulis -7)
(ii). 100 - 92 = 8 (ditulis -8)
(iii). 93-8 = 92-7 = 85
(iv). -7 x (-8) = 56
Sehingga: 93 x 92 = 8556.

4). 91 x 91 = ... ?
Solusi: Analog dengan soal sebelumnya, maka:
(i). 100 - 91 = 9 (ditulis -9)
(ii). 100 - 91 = 9 (ditulis -9)
(iii). 91-9 = 91-9 = 82
(iv). -9 x (-9) = 81
Sehingga: 91 x 91 = 8281.

Mudahkan ... !
Bagi anda coba kombinasi perkalian antara bilangan 90-an (91 s/d 99).

BENAR NGGAK SIH ... BAG.3

Benar nggak sih... 4 = 5 atau 2x2 = 5 ?
Perhatikan!

Misalkan:
P = 4
Q = 5
R = 1
Dapat dibuat hubungan: R = (Q-P)

i). R = (Q-P)

ii). R(Q-P) = (Q-P)^2 ...... (kedua ruas dikali (Q-P))

iii). RQ-RP = Q^2-2PQ+P^2

iv). RQ-RP-P^2 = Q^2-2PQ ...... (kedua ruas ditambah (-P^2))

v). PQ+RQ-RP-P^2 = Q^2-PQ ...... (kedua ruas ditambah PQ)

vi). PQ-RP-P^2 = Q^2-RQ-PQ ...... (kedua ruas ditambah -RQ)

vii). P(Q-R-P) = Q(Q-R-P) ...... (pemfaktoran)

viii). P = Q ...... (kedua ruas dikali 1/(Q-R-P))

Karena sebelumnya telah dimisalkan P = 4 dan Q = 5, maka dari (viii) terlihat bahwa 4 = 5 atau 2x2 = 5.

BENAR NGGAK SIH ... BAG.2

Benar nggak sih... 0! = 1

Seperti telah diketahui sifat-sifat faktorial bahwa:
n! = n(n-1)(n-2)(n-3)...(3)(2)(1) ..............(i)
Ada juga sifat:
n! = n(n-1)! ..........................................(ii)

Untuk membuktikan 0! = 1, dipakai sifat (ii).

Langkah 1.
a). n! = n(n-1)!
b). bagi kedua ruas dengan n, sehingga: n!/n = n(n-1)!/n

Langkah 2.
n!/n = (n-1)!

Langkah 3.
Misalkan, n = 1, maka:
a). 1!/1 = (1-1)!
b). 1/1 = 0!
c). 1 = 0!

Sehingga dapat dibuat kesimpulan: 0! = 1.
__________________________________________________________

Benar nggak sih... eksponen nol adalah 1 ?

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, ada 2 cara.

I). Dengan melihat hubungan dari bilangan berpangkat (eksponen bukan nol).
27 = 3^3
9 = 3^2
3 = 3^1
1 = 3^0
Dari hubungan tersebut, coba perhatikan semua elemen pada ruas kiri.
Tiap langkah terlihat bahwa selalu dibagi 3; 27:3=9; 9:3=3; 3:3=1.
Dan pada ruas kanan, terlihat bahwa pangkatnya selalu dikurangi 1.

Dari contoh bilangan berpangkat tersebut dapat disimpulkan bahwa: 3^0 = 1.
Untuk bilangan-bilangan lain juga analog dengan contoh tersebut.

II). Misalkan dipakai variabel x.
a). x^4 : x^3 = x^(4-3) = x^1 ...... (sesuai sifat eksponen, pembagian bilangan berpangkat maka pangkatnya dikurangi)
b). untuk kasus bilangan berpangkat sama, maka:
x^y : x^y = 1 (karena kedua bilangan tersebut sama), sehingga kesimpulannya:
x^y : x^y = x^(y-y) = x^0 = 1.
_________________________________________________________________________________

Benar nggak sih... -1 = 1 ?

Perhatikan langkah-langkah berikut!
i). -1 = -1
ii). -1/1 = 1/-1
iii). sqrt(-1/1) = sqrt(1/-1)
iv). sqrt[(-1)/(1)] = sqrt[(1)/(-1)]
v).[sqrt(-1)]/[sqrt(1)] = [sqrt(1)]/[sqrt(-1)]
vi). Dengan menggunakan perkalian silang diperoleh:
sqrt(-1)xsqrt(-1) = sqrt(1)xsqrt(1)
vii). -1 = 1

Terbukti...!
________________________________________________________________________________

Benar nggak sih... 0 = 1 ?


i). 0 = 0 + 0 + 0 ...
ii). 0 = 1-1
iii). 0 = (1-1) + (1-1) + (1-1) ...
iv). 0 = 1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) ... (sifat distributif penjumlahan)
v). Karena: -1 + 1 = 0
maka, 0 = 1 + 0 + 0 + 0 ...

Sehingga, 0 = 1

Trik Cepat Mengalikan Bilangan (Ratusan)

Seperti perkalian bilangan puluhan, diharapkan setelah mempelajari trik ini, dalam 5 sampai 10 detik saja mudah memecahkan soal perkalian ratusan.
Tapi perkalian di sini khusus untuk bilangan ratusan dengan 2 digit pertama sama dan satuannya jika dijumlah menghasilkan 10. Seperti: 104 x 106, 123 x 127, dst.

1). 104 x 106 = ... ?
Solusi: Perhatikan angka 104. Pada urutan bilangan, setelah angka 10 adalah 11. Kemudian 11 tersebut dikali dengan 10 menghasilkan 110. Satuannya dikalikan, yaitu: 4x6=24. Lalu angkanya disusun sehingga menjadi 11024.
Jadi, 104 x 106 = 621.

2). 123 x 127 = ... ?
Solusi: Perhatikan angka 123. Pada urutan bilangan, setelah angka 12 adalah 13. Kemudian 13 tersebut dikali dengan 12 menghasilkan 156. Satuannya dikalikan, yaitu: 3x7=21. Lalu angkanya disusun sehingga menjadi 15621.
Jadi, 123 x 127 = 15621.

3). 112 x 118 = ... ?
Solusi: Perhatikan angka 112. Pada urutan bilangan, setelah angka 11 adalah 12. Kemudian 12 tersebut dikali dengan 11 menghasilkan 132. Satuannya dikalikan, yaitu: 2x8=16. Lalu angkanya disusun sehingga menjadi 13216.
Jadi, 112 x 118 = 13216.

Ayo coba yang lainnya.

Trik Cepat Mengalikan Bilangan (Puluhan)

Pada perkalian bilangan di sini, diharapkan setelah mempelajari trik ini, dalam 5 detik saja mudah memecahkan soal perkalian puluhan. Kok bisa ?
Tapi perkalian di sini khusus untuk bilangan berpuluhan sama dan satuannya jika dijumlah menghasilkan 10. Seperti: 23 x 27, 54 x 56, dst.

1). 23 x 27 = ... ?
Solusi: Perhatikan angka 23. Pada urutan bilangan, setelah angka 2 adalah 3. Kemudian 3 tersebut dikali dengan 2 menghasilkan 6. Satuannya dikalikan, yaitu: 3x7=21. Lalu angkanya disusun sehingga menjadi 621.
Jadi, 23 x 27 = 621.

2). 54 x 56 = ... ?
Solusi: Perhatikan angka 54. Pada urutan bilangan, setelah angka 5 adalah 6. Kemudian 6 tersebut dikali dengan 5 menghasilkan 30. Satuannya dikalikan, yaitu: 4x6=24. Lalu angkanya disusun sehingga menjadi 3024.
Jadi, 54 x 56 = 3024.

3). 72 x 78 = ... ?
Solusi: Perhatikan angka 72. Pada urutan bilangan, setelah angka 7 adalah 8. Kemudian 8 tersebut dikali dengan 7 menghasilkan 56. Satuannya dikalikan, yaitu: 2x8=16. Lalu angkanya disusun sehingga menjadi 5616.
Jadi, 72 x 78 = 5616.

4). 84 x 86 = ... ?
Solusi: Perhatikan angka 84. Pada urutan bilangan, setelah angka 8 adalah 9. Kemudian 9 tersebut dikali dengan 8 menghasilkan 72. Satuannya dikalikan, yaitu: 4x6=24. Lalu angkanya disusun sehingga menjadi 7224.
Jadi, 84 x 86 = 7224.

5). 93 x 97 = ... ?
Solusi: Perhatikan angka 93. Pada urutan bilangan, setelah angka 9 adalah 10. Kemudian 10 tersebut dikali dengan 9 menghasilkan 90. Satuannya dikalikan, yaitu: 3x7=21. Lalu angkanya disusun sehingga menjadi 9021.
Jadi, 93 x 97 = 621.

Silahkan mencoba untuk kombinasi angka-angka 2 dijit yang lainnya.
Simpel dan seru bukan ?

Perkalian Menggunakan Jari diantara Bilangan 6, 7, 8, 9, 10 (Perkalian Jari Bag. 2)

Ternyata jari tangan kita banyak sekali manfaatnya.
Pada perkalian jari bag.1 sudah diberikan perkalian angka 9 dengan angka 1, 2, 3, ... , 10. Sekarang saya akan berikan perkalian di antara 6, 7, 8, 9, 10.
Memangnya bisa ? Ya bisa dong !

Perhatikan !

Dari tangan kiri dan kanan tersebut, mulai dari ibu jari kiri sampai ibu jari kanan berturut-turut angka: 6, 7, 8, 9, 10, 10, 9, 8, 7, 6.

1). 6 x 6 = ... ?
Solusi: Ibu jari kiri dilipat (1) tinggal 4
Ibu jari kanan dilipat (1) tinggal 4
Sehingga, (1+1) x 10 = 20 dan 4 x 4 = 16 kemudian keduanya dijumlahkan itulah hasilnya.
Jadi, 6 x 6 = 20 + 16 = 36

2). 7 x 9 = ... ?
Solusi: Ibu jari dan telunjuk kiri dilipat (2) tinggal 3
Ibu jari, telunjuk, jari tengah, dan jari manis kanan dilipat (4) tinggal 1
Sehingga, (2+4) x 10 = 60 dan 3 x 1 = 3 kemudian keduanya dijumlahkan itulah hasilnya.
Jadi, 7 x 9 = 60 + 3 = 63

3). 8 x 7 = ... ?
Solusi: Ibu jari, telunjuk, dan jari manis kiri dilipat (3) tinggal 2
Ibu jari dan telunjuk kanan dilipat (2) tinggal 3
Sehingga, (3+2) x 10 = 50 dan 2 x 3 = 6 kemudian keduanya dijumlahkan itulah hasilnya.
Jadi, 8 x 7 = 50 + 6 = 56

Perkalian dari kombinasi dua angka antara 6 sampai 9 bisa anda coba sendiri.

Mudah kan ?

Sekarang bagaimana kalau perkalian 10 !
4). 6 x 10 = ... ?
Solusi: Ibu jari kiri dilipat (1) tinggal 4
Jari-jari kanan semuanya dilipat (5) tinggal 0
Sehingga, (1+5) x 10 = 60 dan 4 x 0 = 0 kemudian keduanya dijumlahkan itulah hasilnya.
Jadi, 6 x 10 = 60 + 0 = 60

5). 10 x 10 = ... ?
Solusi: Jari-jari kiri semuanya dilipat (5) tinggal 0
Jari-jari kanan semuanya dilipat (5) tinggal 0
Sehingga, (5+5) x 10 = 100 dan 0 x 0 = 0 kemudian keduanya dijumlahkan itulah hasilnya.
Jadi, 10 x 10 = 100 + 0 = 100

Itulah perkalian dengan jari, mudah dan mengasyikkan bukan ?
Supaya lebih asyik lagi, cobain kombinasi 2 angka lainnya.

Perkalian Angka 9 dengan 1, 2, 3, ... , 10 Menggunakan Jari (Perkalian Jari Bag. 1)

Menghafal tabel perkalian ?
Waduh ... repot sekali.
Sekarang saya mau kasihtau perkalian dengan menggunakan jari.
Jadi jari tangan manusia bukan hanya untuk melakukan pekerjaan sehari-hari tapi untuk belajar matematika.
Ini penting lho khususnya untuk orangtua murid.

Perhatikan tangan kiri dan kanan tersebut yang saling berimpit tersebut.
Mulai dari ibu jari tangan kiri sampai kelingking tangan kiri yaitu terdiri dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5. Kemudian di samping kelingking kiri yaitu kelingking kanan sampai ibu jari kanan terdiri dari angka 6, 7, 8, 9, 10. (Catatan: tangan kiri dan kanan tersebut berhadapan dengan wajah kita).

Sekarang kita mulai perkaliannya.

1). 9 x 1 = ... ?
Solusi: Perhatikan jarinya.
Caranya: Lihat jari yang disebelah angka 1, tidak ada jari berarti 0. Kemudian jari di sebelah kanan 1, ada 9 jari. Berarti, 0 dan 9 digabung menjadi 09 atau 9.
Sehingga, 9 x 1 = 9

2). 9 x 2 = ... ?
Solusi: Perhatikan jarinya.
Caranya: Lihat jari yang disebelah angka 2, ada 1 jari. Kemudian jari di sebelah kanan 1, ada 8 jari. Berarti, 1 dan 8 digabung menjadi 18.
Sehingga, 9 x 2 = 18

3). 9 x 3 = ... ?
Solusi: Perhatikan jarinya.
Caranya: Lihat jari yang disebelah angka 3, ada 2 jari. Kemudian jari di sebelah kanan 2, ada 7 jari. Berarti, 2 dan 7 digabung menjadi 27.
Sehingga, 9 x 3 = 27

4). 9 x 4 = ... ?
Solusi: Perhatikan jarinya.
Caranya: Lihat jari yang disebelah angka 4, ada 3 jari. Kemudian jari di sebelah kanan 4, ada 6 jari. Berarti, 3 dan 6 digabung menjadi 36.
Sehingga, 9 x 4 = 36

5). 9 x 5 = ... ?
Solusi: Perhatikan jarinya.
Caranya: Lihat jari yang disebelah angka 5, ada 4 jari. Kemudian jari di sebelah kanan 5, ada 5 jari. Berarti, 4 dan 5 digabung menjadi 45.
Sehingga, 9 x 5 = 45

6). 9 x 6 = ... ?
Solusi: Perhatikan jarinya.
Caranya: Lihat jari yang disebelah angka 6, ada 5 jari. Kemudian jari di sebelah kanan 6, ada 4 jari. Berarti, 5 dan 4 digabung menjadi 54.
Sehingga, 9 x 6 = 54

7). 9 x 7 = ... ?
Solusi: Perhatikan jarinya.
Caranya: Lihat jari yang disebelah angka 7, ada 6 jari. Kemudian jari di sebelah kanan 7, ada 3 jari. Berarti, 6 dan 3 digabung menjadi 63.
Sehingga, 9 x 7 = 63

8). 9 x 8 = ... ?
Solusi: Perhatikan jarinya.
Caranya: Lihat jari yang disebelah angka 8, ada 7 jari. Kemudian jari di sebelah kanan 8, ada 2 jari. Berarti, 7 dan 2 digabung menjadi 72.
Sehingga, 9 x 8 = 72

9). 9 x 9 = ... ?
Solusi: Perhatikan jarinya.
Caranya: Lihat jari yang disebelah angka 9, ada 8 jari. Kemudian jari di sebelah kanan 9, ada 1 jari. Berarti, 8 dan 1 digabung menjadi 81.
Sehingga, 9 x 9 = 81

10). 9 x 10 = ... ?
Solusi: Perhatikan jarinya.
Caranya: Lihat jari yang disebelah angka 10, ada 9 jari. Kemudian jari di sebelah kanan 10, tidak ada jari alias 0. Berarti, 9 dan 0 digabung menjadi 90.
Sehingga, 9 x 10 = 90

Begitulah caranya.
Sebenarnya kelihatan rumit, tapi kalau sudah dipraktekkan pasti terasa mudah.
Silahkan mencoba ... !

Konversi Celcius ke Fahrenheit

Tahukah anda, ada trik untuk mengubah suhu dalam derajat Celcius ke Fahrenheit.

Perhatikan !

1). 22 Derajat Celcius = ... Derajat fahrenheit ?
Solusi: I. 22 + 22 = 44
II. 44 + 30 = 74
III. Jadi, 22 Derajat Celcius = 74 Derajat Fahrenheit.
(Penjelasan verbalnya sbb: tambahkan bilangan yang akan dikonversikan dengan dirinya sendiri, kemudian hasilnya ditambah 30 itulah Jawabannya).

2). 32 Derajat Celcius = ... Derajat Fahrenheit ?
Solusi: I. 32 + 32 = 64
II. 64 + 30 = 94
III. Jadi, 32 Derajat Celcius = 94 Derajat Fahrenheit.

3). 19 Derajat Celcius = ... Derajat Fahrenheit ?
Solusi: I. 19 + 19 = 38
II. 38 + 30 = 68
III. Jadi, 19 Derajat Celcius = 68 Derajat Fahrenheit.

Trik yang mudah kan ... ?

Trik Mengkuadratkan Bilangan Bag. 2

Mengkuadratkan bilangan ratusan

1). 104^2 = ... ?
Caranya: 104 + 4 = 108
Kemudian, 4 . 4 = 16
Jadi, 104^2 = 10816

2). 107^2 = ... ?
Caranya: 107 + 7 = 114
Kemudian, 7 . 7 = 49
Jadi, 107^2 = 11449

3). 112^2 = ... ?
Caranya: 112 + 12 = 124
Kemudian, 12 . 12 = 144
Tapi seperti pada pengkuadratan bilangan belasan, yaitu bilangan 14 dan 19, pada 112^2 ini juga menggunakan metode simpan.
Sehingga, 112^2 = 12544 (di mana angka 5 merupakan hasil dari 1 + 4)

Trik Mengkuadratkan Bilangan Bag. 1

Mengkuadratkan bilangan belasan

1). 12^2 = ... ?
Caranya: 12 + 2 = 14
Kemudian, 2 . 2 = 4
Jadi, 12^2 = 144
(penjelasan verbalnya: angka belasan yang akan dikuadratkan ditambah satuannya diperoleh hasilnya, lalu angka satuan tersebut dikali dirinya sendiri, setelah itu hasil yang pertama digabungkan dengan hasil yang kedua, itulah jawabannya)

2). 13^2 = ... ?
Caranya: 13 + 3 = 16
Kemudian, 3 . 3 = 9
Jadi, 13^2 = 169

3). 14^2 = ... ?
Caranya: 14 + 4 = 18
Kemudian, 4 . 4 = 16, kalau seperti ini maka tidak bisa digabungkan tapi angka 8 pada 18 ditambah dengan angka 1 pada 16, menghasilkan 9 dan karena tanpa sisa maka bisa digabung.
Jadi, 14^2 = 196

.
.
.
.

4). 19^2 = ... ?
Caranya: 19 + 9 = 28
Kemudian, 9 . 9 = 81, seperti pada 14^2, tidak bisa digabungkan tapi angka 8 pada 28 ditambah dengan angka 8 pada 81, menghasilkan 18 dan harus disimpan maka kita tulis 6 lalu angka 1 -nya ditambahkan pada angka 2 dari 28 sehingga menjadi 361.
Jadi, 19^2 = 361

Teknik Menjumlah

Menjumlah bilangan dua dijit dgn pendekatan ke puluhan terdekat


1). 19 + 41 = (19+1) + (41-1) = 20 + 40 = 60

2). 33 + 47 = (33-3) + (47+3) = 30 + 50 = 80

3). 79 + 81 = (79+1) + (81-1) = 80 + 80 = 160

Selamat mencoba ... !

BENAR NGGAK SIH ... BAG.1

Benar nggak sih... 1 + 1 = 0?
Liat nih:
Asumsikan bahwa i = sqrt(-1) dan sqrt(ab) = sqrt(a) . sqrt(b)
Kembali ke soalnya,
1 + 1 = 1 + sqrt(1)
= 1 + sqrt(-1 . -1)
= 1 + sqrt(-1) . sqrt(-1)
= 1 + (i . i)
= 1 + (-1)
= 1 - 1
= 0
Jadi, 1 + 1 = 0
_____________________________________________________________

Benar nggak sih... 1 + 1 = 1,99...
Misalkan,
x = 0,99...--------------------------------(a)
10x = 9,99...
Sehingga, 10x - x = 9,99... - 0,99...
9x = 9
x = 1 --------------------------------------(b)
Dari (a) dan (b), 1 = 0,99...
Jadi, 1 + 1 = 1 + 0,99... = 1,99...
_____________________________________________________________

Benar nggak sih... 1 = 2
Misalkan, a = b -------------(*)
ab = b^2 -------------------------(Kedua ruas dikali b)
ab - a^2 = b^2 - a^2 ----------(Kedua ruas dikurangkan dgn a^2)
Sehingga, a(b-a) = (b-a)(b+a)----(Pemfaktoran)
Menghasilkan, a = b+a -------(Kedua ruas dikali dgn 1/(b-a))
Dan dari (*), a = a+a
a = 2a ----------------------(Kedua ruas dikali dgn 1/a)
Memberikan, 1 = 2
Jadi, 1 = 2

_____________________________________________________________

Benar nggak sih... 0,99... = 1
Misalkan,
x = 0,99...--------------------------------(a)
10x = 9,99...
Sehingga, 10x - x = 9,99... - 0,99...
9x = 9
x = 1 --------------------------------------(b)
Dari (a) dan (b), 1 = 0,99...
Jadi, 1 = 0,99...

MATEMATIKA DASAR (BAG. II)

HIMPUNAN BILANGAN
Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek atau item-item. Definisi tersebut dapat juga digunakan untuk bilangan-bilangan sebagai anggota dari himpunan. Anggota dari himpunan tersebut dikurung memakai kurung kurawal “{}”. Huruf kapital selalu digunakan untuk penamaan suatu himpunan. Anggota atau item dari himpunan dinamakan elemen dari himpunan. Lambang “∈” berarti ‘elemen dari’.
Contoh: H={1,2,3,4,5}
1 adalah anggota dari H, ditulis 1∈H.
Himpunan Bagian (subset) adalah himpunan yang berdampingan dengan himpunan yang lainnya. Himpunan F={1,2} adalah subset H. Himpunan G={4,6} bukan subset dari F karena G mempunyai elemen 6 yang bukan dalam F. Penulisan lain dari F, adalah {2,1}.
Bilangan-bilangan yang sudah disebut pada klasifikasi dapat ditulis dalam bentuk himpunan:
Himpunan bilangan asli N={1,2,3,4,5,…}
Himpunan bilangan cacah W={0,1,2,3,4,5,…}
Himpunan intejer Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Himpunan intejer positif ={1,2,3,…} (sama seperti himpunan N)
Himpunan intejer negatif ={…,-3,-2,-1}
Himpunan bilangan rasional Q={a/b|a dan b intejer (b≠0) } (‘|’ dibaca sedemikian sehingga)
Himpunan bilangan irrasional J= {semua bilangan yang tidak mempunyai pengulangan, representasi desimalnya tidak berhenti}
Himpunan bilangan riil R= {semua bilangan baik rasional maupun irrasional}

Problem Himpunan: identifikasi setiap bilangan yang diberikan apakah elemen atau anggota dari.
1. Elemen dari himpunan apa, bilangan 9 atau apa tipe bilangan 9?
Solusi: N,W,Z,Q,R
2. Apa tipe bilangan -1?
Solusi: Z,Q,R
3. Apa tipe bilangan 0?
Solusi: W,Z,Q,R
4. Apa tipe bilangan 1/3?
Solusi: Q,R
5. Apa tipe bilangan √3 ?
Solusi: √3≈1,7320508075688772935… adalah himpunan J,R
6. Apa tipe bilangan √4 ?
Solusi: N,W,Z,Q,R (jangan terkecoh dengan bentuk akar secara otomatis jangan
mengasumsikan sebagai bilangan rasional, dalam kasus ini bukan anggota J)
7. Apa tipe bilangan π?
Solusi: π (phi) adalah nilai yang diperoleh jika membagi panjang keliling
lingkaran dengan dengan panjang diameternya. Phi adalah suatu bilangan irrasional
karena berbentuk desimal dengan dijit tanpa pengulangan dan tidak pernah
berhenti. Perkiraan desimal, kebanyakan yang dipakai adalah 3,14 padahal angka
desimalnya tidak terbatas. Perkiraan 99 tempat desimalnya: 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068...
8. Apa tipe bilangan √(-1) ?
Solusi: √(-1) adalah anggota dari tidak satupun himpunan bilangan yang sudah
didiskusikan sebelumnya. Tapi √(-1) adalah bilangan imajiner i.
9. Apa tipe bilangan 15/3 ?
Solusi: 15/3=5, anggota dari N,W,Z,Q,R (bukan berarti bentuk pembagian tersebut
sudah pasti rasional saja).
10.Apa tipe bilangan 4/0 ?
Solusi: 4/0 adalah tidak satupun masuk dalam anggota himpunan yang sudah
didiskusikan; tidak terdefinisi (undefined), karena pembagian dengan nol tidak
diperbolehkan.

QUIS 1
1). Tulis lambang huruf dari himpunan bilangan-bilangan berikut:
Bilangan asli: ___
Bilangan cacah: ___
Intejer: ___
Bilangan rasional: ___
Bilangan irrasional: ___
Bilangan riil: ___
2). Bilangan 57 adalah elemen dari himpunan bilangan apa?
3). Yang mana bilangan-bilangan berikut yang irrasional?
3,14
0
√(9&211)
√(-1)
4). Dari himpunan {-√5,7,-9,0/2,5 2/3; 0,3 ̅; π^2,√16,3i,37/24 }, yang mana:
Bilangan asli: ______________________________
Bilangan cacah: ______________________________
Intejer: _______________________________
Bilangan rasional: ______________________________
Bilangan irrasional: ______________________________
Bilangan riil: _______________________________

JAWAB
1).a) Bilangan asli: N
b) Bilangan cacah: W
c) Intejer: Z
d) Bilangan rasional: Q
e) Bilangan irassional: J
f) Bilangan riil
2). 57 adalah elemen dari N,W,Z,Q,R
3). √(9&211) adalah yang irrasional
4). a) Bilangan asli: √16
b) Bilangan cacah: 0/2 dan √16
c) Intejer: -9, 0/2, √16
d) Bilangan rasional: -9,0/2,52/3;0,3 ̅; √16,37/24
5). Bilangan irrasional: -√5,7,π^2
6). Bilangan riil: -√5,7,-9,0/2,52/3;0,3 ̅; √16,37/24

MATEMATIKA DASAR (BAG. I)

KLASIFIKASI BILANGAN

1). Bilangan Kompleks.
Bilangan kompleks adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk a+bi, di mana a dan b adalah bilangan riil dan i adalah bilangan imajiner yang didefinisikan dengan i=√(-1). Sebagai contoh: i,-2i,1-5i 3+4i adalah bilangan-bilangan kompleks. Bilangan-bilangan tersebut tidak riil karena tidak bisa direpresentasikan dalam garis bilangan.

2). Bilangan Riil
Bilangan riil adalah bilangan yang dapat direpresentasikan pada garis bilangan, dan merupakan gabungan antara bilangan rasional dan irrasional.

3) Bilangan Imajiner
Bilangan imajiner adalah bilangan yang dapat direpresentasikan dengan i, dengan i=√(-1). Sebagai contoh: √(-4)=2i, ∛(-8)=-2i.

4). Bilangan Rasional (Q)
Jika membagi suatu integer dengan intejer yang lainnya (bukan nol) maka akan diperoleh suatu rasio yang disebut bilangan rasional. Dengan kata lain, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk p/q , di mana p dan q adalah intejer dan q≠0. Semua bilangan asli, bilangan cacah, dan intejer adalah bilangan rasional jika dibagi dengan 1. Sebagai contoh: 1/2,-3/4,45/101, dan bilangan desimal yang berhenti, 0,25; 0,12; 56,10823667 serta bilangan desimal yang tidak pernah berakhir tetapi berulang (secara konsisten), 0,12121212... atau 34,6238888... dimana dapat ditulis dalam bentuk 0,12 (dgn tanda garis diatas 12) atau 34,6238 (dengan tanda garis di atas 8).

5). Bilangan Irrasional (J)
Bilangan irrasional adalah sebarang bilangan pada garis bilangan yang bukan merupakan bilangan rasional. Sebagai contoh: √2,-∛7, π,e. Suatu bilangan desimal yang tidak pernah berakhir (dan tidak konsisten) juga adalah irrasional; √3≈1,7320508075… (‘≈’ berarti kira-kira sama dengan).
Bilangan -∛7 merupakan contoh dari bilangan irrasional negatif.
Bilangan √2 merupakan contoh dari bilangan irrasional positif.

6). Intejer
Adalah bilangan bulat, bukan desimal, di tambah nol, pada garis bilangan meliputi kiri nol maupun kanan nol. Yaitu: …,-3,-2,-1,0,1,2,3,….
Bilangan ... , -3,-2,-1 adalah intejer negatif.
Nol (0) adalah pusat dari garis bilangan riil, biasa disebut origin.
Bilangan ... , 1,2,3,… adalah integer positif. Intejer positif inilah yang biasa dikenal dengan bilangan asli (N). Sedangkan bilangan asli beserta nol (0) inilah yang dikenal dengan bilangan cacah (W). Catatan: N = natural number dan W = whole numbers.

7). Non Intejer
Bukan bilangan bulat, bisa juga berbentuk desimal.
Bilangan -3/5,-7/8, merupakan contoh non intejer negatif.
Bilangan 3/4,7/8, merupakan contoh non integer positif.

Bilangan-bilangan diatas merupakan topik utama dalam mempelajari bilangan. Karena dari bilangan-bilangan tersebutlah muncul jenis-jenis bilangan lain, seperti: prima, ganjil, genap, komposit, dll.